В Яндексе сохраняется лишь история вашей переписки, сообщений в различных сервисах этого сайта. Для ее удаления авторизуйтесь в Яндексе и выберите меню "Настройка" в правом верхнем углу. История вашего поиска находится в разделе "Чат", и соответственно, для ее удаления вам необходимо нажать "удалить всю историю общения". Для удаления поисковых запросов очистите cookie и cash вашего браузера, которые можно найти в его настройках. К примеру, в Internet Explorer это осуществляется через Свойства обозревателя в меню "Сервис", где выбираете очистку журнала.